讲透一个强大算法模型，K-means Clustering ！！

先来简单说说K-均值聚类是什么吧。

K-均值聚类 主要用于将数据分成几个组（称为簇）。它的名字里有个“K”，就是你要提前告诉算法你想把数据分成几组。

下面举一个通俗易懂的例子，很容易可以理解~

假设有一堆数据点：比如说，你有一群学生，你想根据他们的身高和体重把他们分成几组。
选择K个初始中心点：假设你想把学生分成3组（K=3），你可以先随机选出3个学生的身高和体重，作为初始的“中心点”。
计算距离：然后，你把每个学生的身高体重和这3个中心点的身高体重进行比较，看哪个中心点离这个学生最近。比如，A学生离中心点1最近，就把A学生分到组1里。
重新计算中心点：当所有学生都分好组后，每个组都有了一批学生。接下来，你需要重新计算每个组的中心点，比如，组1的新中心点就是组1里所有学生身高和体重的平均值。
重复步骤3和4：再用新的中心点重新分组，再重新计算中心点，如此循环，直到每个组的学生基本上不再变动。

目的：K-均值聚类的目的是让同一组的学生（数据点）在身高体重（特征）上尽量相似，不同组之间的学生在身高体重上尽量不同。

优点很明显，理解起来简单易懂，计算起来速度快。而且对大部分常见的分组问题效果不错。

有些缺点可以容忍，需要提前指定K值（组数）。对于初始中心点的选择敏感，有时候结果不太稳定。最致命的，如果数据本身有明显的噪声或者异常点，效果可能不太好。

总之，K-均值聚类是一种把数据分组的方法，它通过找到每组数据的中心点，并不断调整这些中心点的位置，来达到分组的目的。

理论基础

数学原理与公式推理

1. 目标函数

K-均值聚类的目标是最小化每个簇内样本到簇中心的距离之和。用数学符号表示，即最小化以下目标函数：

其中：

是簇的数量。
是第个簇的样本集合。
是样本点。
是第个簇的中心（质心）。

2. 质心的计算

质心是簇内所有点的平均值。第个簇的质心的计算公式为：

其中是簇中的样本点数量。

算法流程

初始化：

随机选择个初始质心。

分配样本到最近的质心：

对每个样本点，计算其到每个质心的距离：

将分配到最近的质心所对应的簇：

更新质心：

对每个簇，重新计算其质心：

检查收敛条件：

如果质心的位置在前后两次迭代中没有显著变化，或者达到预设的迭代次数，则算法终止。
否则，返回步骤2。

详细推导

目标函数的推导：

目标函数表示簇内平方误差总和（Sum of Squared Errors, SSE），即所有样本点到其所属簇质心的欧几里得距离的平方和：

为了最小化，我们需要反复调整每个簇的质心位置并重新分配样本点到簇。

质心计算的推导：

对于每个簇，质心是簇内所有点的平均值：

这是因为质心是使得簇内点到质心距离平方和最小的点。

迭代更新：

在每次迭代中，通过最小化每个簇的内部误差来更新质心，并通过最小化样本点到质心的距离重新分配样本点。
反复进行质心更新和样本点分配，直到收敛。

收敛性与复杂度分析

收敛性：K-均值算法通过每次迭代减少目标函数的值，最终收敛到一个局部最优解。虽然不能保证找到全局最优解，但通常通过多次运行K-均值并选择最小的值的结果来提高效果。
复杂度：在每次迭代中，计算每个样本点到每个质心的距离的复杂度是，更新质心的复杂度是，因此总的时间复杂度大致为，其中是迭代次数，是样本数量，是簇的数量。

综上，K-均值聚类通过迭代优化，逐步最小化样本点到质心的距离平方和，达到将数据分成多个相似簇的目的。

完整案例

我们来进行一个完整的K-均值聚类实际案例示例。

还是使用经典的鸢尾花数据集（Iris Dataset），这个数据集包含150个样本，每个样本有4个特征：花萼长度、花萼宽度、花瓣长度和花瓣宽度。此外，每个样本还标注了其所属的花的品种（鸢尾花的三种品种：Iris-setosa、Iris-versicolor和Iris-virginica）。

完整代码，大家可以根据注释进行理解，后面可以使用自己的数据集进行实现，加强理解。

import numpy as np

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sns

from sklearn.cluster import KMeans

from sklearn.datasets import load_iris

from sklearn.decomposition import PCA

from sklearn.metrics import silhouette_score



# 加载数据集

iris = load_iris()

X = iris.data

y = iris.target

feature_names = iris.feature_names



# 将数据集转换为DataFrame，便于处理

df = pd.DataFrame(X, columns=feature_names)

df['target'] = y



# 数据可视化

sns.pairplot(df, hue='target', markers=["o", "s", "D"])

plt.suptitle('Iris Data Pair Plot', y=1.02)

plt.show()

# 使用PCA进行降维到2D，以便于可视化

pca = PCA(n_components=2)

X_pca = pca.fit_transform(X)

df_pca = pd.DataFrame(X_pca, columns=['PCA1', 'PCA2'])

df_pca['target'] = y



# 可视化降维后的数据

plt.figure(figsize=(10, 6))

sns.scatterplot(x='PCA1', y='PCA2', hue='target', data=df_pca, palette='deep', markers=["o", "s", "D"])

plt.title('PCA of Iris Dataset')

plt.show()

# 确定最优的簇数

inertia = []

silhouette_scores = []

K_range = range(2, 11)



for k in K_range:

    kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=42)

    kmeans.fit(X)

    inertia.append(kmeans.inertia_)

    score = silhouette_score(X, kmeans.labels_)

    silhouette_scores.append(score)



# 绘制肘部法图和轮廓系数图

fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(12, 6))

plt.subplot(1, 2, 1)

plt.plot(K_range, inertia, 'bo-')

plt.xlabel('Number of clusters (k)')

plt.ylabel('Inertia')

plt.title('Elbow Method For Optimal k')



plt.subplot(1, 2, 2)

plt.plot(K_range, silhouette_scores, 'bo-')

plt.xlabel('Number of clusters (k)')

plt.ylabel('Silhouette Score')

plt.title('Silhouette Scores For Optimal k')



plt.show()

# 选择最优簇数并进行K-均值聚类

optimal_k = 3  # 根据肘部法和轮廓系数选择

kmeans = KMeans(n_clusters=optimal_k, random_state=42)

kmeans.fit(X)

labels = kmeans.labels_



# 将聚类结果加入到DataFrame

df_pca['cluster'] = labels



# 可视化聚类结果

plt.figure(figsize=(10, 6))

sns.scatterplot(x='PCA1', y='PCA2', hue='cluster', data=df_pca, palette='deep', markers=["o", "s", "D"])

plt.title('K-means Clustering of Iris Dataset')

plt.show()



# 打印聚类中心

centroids = kmeans.cluster_centers_

centroids_df = pd.DataFrame(centroids, columns=feature_names)

print("Cluster Centers (Centroids):\n", centroids_df)



# 打印轮廓系数

final_silhouette_score = silhouette_score(X, labels)

print(f"Final Silhouette Score: {final_silhouette_score}")

其中需要注意的几个步骤：

数据加载与初步处理：

加载鸢尾花数据集，并将其转换为DataFrame格式。
使用Seaborn进行数据的初步可视化，绘制特征对特征的散点图，展示不同类别的分布情况。

降维与可视化：

使用PCA将数据降维到2D，以便于后续的可视化。
绘制降维后的数据分布图，进一步观察数据的结构。

确定最优的簇数：

使用肘部法和轮廓系数（Silhouette Score）来确定最优的簇数。
绘制肘部法图和轮廓系数图，根据图形选择最优的簇数（本例中选择k=3）。

K-均值聚类：

使用K-均值算法进行聚类，并将结果标签加入到DataFrame中。
可视化聚类结果，展示不同簇的分布情况。

聚类中心与轮廓系数：

打印聚类中心（质心）的位置。
计算并打印最终的轮廓系数，以评估聚类效果。

算法优化

算法优化方面，可以考虑三方面：

初始质心选择优化
数据标准化
重复实验

1. 初始质心选择优化：使用k-means++算法来优化初始质心的选择，从而提高聚类的稳定性和准确性。

kmeans = KMeans(n_clusters=optimal_k, init='k-means++', random_state=42)

2. 数据标准化：在聚类之前，对数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1。

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

scaler = StandardScaler()

X_scaled = scaler.fit_transform(X)

3. 重复实验：运行多次K-均值聚类，并选择最小的目标函数值对应的聚类结果。

kmeans = KMeans(n_clusters=optimal_k, init='k-means++', n_init=10, random_state=42)

通过整个的代码和优化策略，大家可以感受整个过程。代码中，实现了鸢尾花数据集的聚类分析，并且通过可视化、评估指标等手段对聚类效果进行了详细的评估和优化。

模型分析

K-均值聚类模型的优缺点

优点：

简单易实现：K-均值聚类算法简单直观，易于理解和实现。
计算速度快：适用于大规模数据集，计算复杂度较低。
适用范围广：对于球状分布的数据效果较好，特别是在数据量不是很大、簇的形状规则且差异明显时表现良好。

缺点：

需要预先指定簇的数量K：对于不知道簇数量的数据，难以确定合适的K值。
对初始质心的选择敏感：初始质心的选择会影响最终的聚类结果，可能导致局部最优解。
对异常值敏感：异常值或噪声会对质心的计算和最终的聚类结果产生较大影响。

与相似算法的对比

K-均值聚类 vs 层次聚类（Hierarchical Clustering）：

层次聚类不需要预先指定簇的数量，能够从数据中找出不同层次的簇结构，但计算复杂度较高，不适合大数据集。
K-均值聚类适用于大数据集和球状分布的数据，但需要预先指定簇的数量。

K-均值聚类 vs 密度聚类（Density-Based Clustering，如DBSCAN）：

DBSCAN能够发现任意形状的簇，并且对噪声和异常值不敏感，但需要调整一些参数如邻域大小和最小样本数。
K-均值聚类简单易懂，适用于较为规则的簇形状和较大的数据集，但对数据的分布形状和簇的数量敏感。

优选和考虑其他算法的情况

K-均值聚类适用情况：

数据量较大：K-均值聚类的计算速度快，适合处理大规模数据集。
簇的形状较为规则：如果数据集的簇形状接近球状，K-均值聚类效果较好。
已知簇的数量：当我们事先知道数据应该分成几个簇时，K-均值聚类是一个简单有效的选择。

考虑其他算法的情况：

不确定簇的数量：如果无法确定簇的数量，可以考虑使用层次聚类或基于密度的聚类算法。
数据包含异常值或噪声：对于数据中存在异常值或噪声的情况，可以考虑使用DBSCAN等密度聚类算法，这些算法对异常值较为鲁棒。
簇形状复杂：如果数据集中的簇形状非常复杂或者不规则，层次聚类或者基于密度的聚类可能更适合。

最后

K-均值聚类是一种简单且有效的聚类算法，特别适合处理大规模数据集和具有明显球状分布的数据。在选择算法时，需要根据数据的特点（如簇的形状、数据量、簇数量的确定性等）来权衡不同算法的优缺点，以达到最佳的聚类效果。

本文章转载微信公众号@深夜努力写Python