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讲透一个强大算法模型，层次聚类！！

讲透一个强大算法模型，层次聚类！！

作者: weixin03 2025-01-08

基本概念

首先，层次聚类是一种常用的聚类方法，用于将数据分成不同的组或簇。

这个方法的核心思想是：根据数据之间的相似度来构建一个“层次结构”，逐步将数据进行合并或拆分，直到得到最终的聚类结果。

下面，看看基本的步骤：

  1. 起点：开始时，把每一个数据点当作一个独立的簇，每个簇里面只有一个数据点。
  2. 计算相似度：计算每对簇之间的相似度或距离。相似度可以通过各种方法计算，比如欧几里得距离、曼哈顿距离等。
  3. 合并最近的簇：找到距离最近的两个簇，把它们合并成一个新的簇。
  4. 更新相似度矩阵：更新簇之间的相似度或距离，因为合并了新的簇，所以需要重新计算新簇与其他簇之间的相似度。
  5. 重复步骤3和4：不断重复合并最近的簇，直到所有数据点最终合并成一个大簇，或者达到预定的停止条件（比如得到指定数量的簇）。

层次聚类主要分为两种类型：

  1. 自底向上（凝聚层次聚类）：从每个数据点开始，每一步合并两个最相似的簇，直到所有数据点被合并到一个簇中。
  2. 自顶向下（分裂层次聚类）：从所有数据点开始，每一步拆分一个簇成两个最不相似的簇，直到每个数据点成为一个独立的簇。

理论基础

层次聚类是一种无监督学习方法，其目的是根据数据点之间的相似性将数据划分成层次结构的簇。

基本概念

距离度量：计算数据点之间的相似性，常用的度量有欧几里得距离、曼哈顿距离等。

对于两个数据点  和  ，欧几里得距离为：

其中，  是数据的维度。

簇之间的距离：常用的簇间距离度量方法有单链法、全链法、平均链法和中心点法等。

  • 单链法（最小距离）：

全链法（最大距离）：

平均链法（平均距离）：

中心点法（簇中心距离）：

其中，  和  分别是簇  和  的中心点。

算法流程

层次聚类的过程可以分为自底向上（凝聚层次聚类）和自顶向下（分裂层次聚类）两种。

下面，咱们主要介绍凝聚层次聚类的算法流程。

  1. 初始化：
  • 将每个数据点视为一个独立的簇，形成  个簇， 。
  1. 计算距离矩阵：
  • 计算所有簇之间的距离，形成距离矩阵 ，其中  表示簇  和  之间的距离。
  1. 合并最近的簇：
  • 找到距离最近的两个簇  和 ，即找到  使得 。
  • 合并  和  成为一个新的簇 ，更新簇集合 。
  1. 更新距离矩阵：
  • 计算新簇  与其他所有簇之间的距离，更新距离矩阵 。
  • 对于中心点法，更新公式为：
  • 对于平均链法，更新公式为：
  • 对于全链法，更新公式为：
  • 对于单链法，更新公式为：
  • 然后计算  与其他簇中心点的距离。
  1. 重复步骤3和4：
  • 重复合并最近的簇并更新距离矩阵的过程，直到簇的数量减少到预定的值 ，或者所有数据点合并成一个簇。

数学推理

为了保证层次聚类算法能够有效地进行，需要证明以下几点：

  1. 距离矩阵的对称性：距离矩阵  是对称的，即 。这是因为距离度量满足对称性。
  2. 距离的非负性：距离矩阵  中的所有值都是非负的，即 。这是因为距离度量满足非负性。
  3. 合并操作的单调性：每次合并操作后，新簇的距离不会小于之前的最小距离。以单链法为例，合并操作后的新簇与其他簇之间的距离为：

因此，新簇的距离不会比原来的最小距离更小。

通过以上数学推理和算法流程，层次聚类算法能够有效地将数据点分成层次结构的簇，可以帮助大家理解数据的内在结构和分布。

Python案例

下面的案例，咱们使用一个真实的数据集，大家可以直接使用api获取。

使用来自 UCI 机器学习库的“葡萄酒数据集”（Wine Dataset），该数据集包含了 178 种葡萄酒的 13 个化学特征，目标是通过层次聚类来分析这些葡萄酒的分组情况。

我们将包括以下步骤：

  1. 数据集导入和预处理
  2. 使用层次聚类进行聚类分析
  3. 聚类结果的可视化
  4. 算法优化

1. 数据集导入和预处理

首先，我们需要导入数据集并做一定的预处理。

import pandas as pd

from sklearn.datasets import load_wine

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sns



# 加载数据集

data = load_wine()

df = pd.DataFrame(data.data, columns=data.feature_names)



# 数据标准化

scaler = StandardScaler()

df_scaled = scaler.fit_transform(df)

2. 使用层次聚类进行聚类分析

我们使用 scipy 库中的 linkage 和 dendrogram 函数进行层次聚类分析，并绘制树状图。

from scipy.cluster.hierarchy import linkage, dendrogram



# 使用欧几里得距离和沃德方法进行层次聚类

Z = linkage(df_scaled, method='ward')



# 绘制树状图

plt.figure(figsize=(12, 8))

dendrogram(Z, labels=data.target, leaf_rotation=90, leaf_font_size=10)

plt.title('Hierarchical Clustering Dendrogram')

plt.xlabel('Sample index')

plt.ylabel('Distance')

plt.show()

3. 聚类结果的可视化

为了更好地理解聚类结果，我们可以将数据降维至二维，并用不同的颜色表示不同的簇。

from sklearn.decomposition import PCA

from scipy.cluster.hierarchy import fcluster



# 使用PCA将数据降维到二维

pca = PCA(n_components=2)

df_pca = pca.fit_transform(df_scaled)



# 从树状图中选择一个合适的阈值，划分簇

max_d = 7.0  # 这个阈值需要根据树状图手动调整

clusters = fcluster(Z, max_d, criterion='distance')



# 绘制二维降维后的聚类结果

plt.figure(figsize=(10, 8))

plt.scatter(df_pca[:, 0], df_pca[:, 1], c=clusters, cmap='rainbow', alpha=0.7)

plt.title('Hierarchical Clustering of Wine Dataset (2D PCA)')

plt.xlabel('Principal Component 1')

plt.ylabel('Principal Component 2')

plt.show()

4. 算法优化

我们可以通过调整距离度量方法、合并策略等来优化算法。这里我们展示如何使用不同的合并策略进行层次聚类。

# 使用不同的合并策略进行层次聚类

methods = ['single', 'complete', 'average', 'ward']

plt.figure(figsize=(20, 15))



for i, method in enumerate(methods, 1):

    Z = linkage(df_scaled, method=method)

    plt.subplot(2, 2, i)

    dendrogram(Z, labels=data.target, leaf_rotation=90, leaf_font_size=10)

    plt.title(f'Linkage Method: {method.capitalize()}')

    plt.xlabel('Sample index')

    plt.ylabel('Distance')



plt.tight_layout()

plt.show()

通过比较不同的合并策略的树状图，我们可以选择最适合当前数据集的策略。

总结如下：

  1. 数据标准化：在聚类前标准化数据有助于消除不同特征量纲之间的影响。
  2. 降维：使用PCA将数据降维至二维，有助于可视化和理解高维数据的聚类结果。
  3. 树状图（Dendrogram）：通过观察树状图，可以确定合适的阈值来划分簇。
  4. 合并策略比较：通过比较不同的合并策略，可以选择最适合的数据集的策略，提高聚类效果。

整个的这些步骤展示了如何使用层次聚类进行数据分析，大家可以通过可视化和算法优化提升结果的理解和效果。

模型分析

层次聚类模型的优缺点

优点

  1. 直观易懂：层次聚类生成的树状图（dendrogram）可以清晰地展示数据的层次结构，直观且易于理解。
  2. 无需预先指定簇的数量：与K均值聚类不同，层次聚类不需要预先指定簇的数量，适合于不确定簇数的情况。
  3. 适用于任意形状的簇：层次聚类可以处理形状复杂的簇，而K均值聚类更适合球形簇。
  4. 数据处理能力：层次聚类能处理小到中等规模的数据集，适用于一些小样本但高维的数据集。

缺点

  1. 计算复杂度高：层次聚类的计算复杂度较高，通常为 ，对大规模数据集不太适用。
  2. 对噪声和离群点敏感：噪声和离群点可能会影响聚类结果，导致聚类质量下降。
  3. 一旦合并无法撤销：层次聚类一旦合并两个簇，无法进行拆分，容易在早期步骤中产生错误。

与相似算法的对比

K均值聚类（K-means Clustering）

  • 优点：
    • 计算速度快，适用于大规模数据集。
    • 算法简单，容易实现和理解。
  • 缺点：
    • 需要预先指定簇的数量 。
    • 对初始中心点选择敏感，容易陷入局部最优。
    • 适用于球形簇，不适合复杂形状的簇。

DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）

  • 优点：
    • 可以发现任意形状的簇。
    • 自动识别噪声点，不需要预先指定簇的数量。
  • 缺点：
    • 对参数敏感（如eps和min_samples）。
    • 不适合高维数据集，计算复杂度较高。

适用场景

层次聚类的优选场景

  1. 数据规模适中：适用于小到中等规模的数据集，数据点数量在几百到几千之间。
  2. 簇数不确定：适用于不确定簇的数量，需要通过观察树状图来确定聚类结构。
  3. 数据结构层次化：适用于数据具有明显的层次结构的场景，如生物分类、社会网络分析等。

其他算法的优选场景

  1. 大规模数据集：对于大规模数据集，K均值聚类和MiniBatch K均值聚类更为适用，因为它们计算速度快且效率高。
  2. 复杂形状的簇：当数据集中的簇形状复杂且包含噪声点时，DBSCAN算法更为适用，因为它能够识别任意形状的簇并自动处理噪声点。
  3. 高维数据集：对于高维数据集，谱聚类（Spectral Clustering）可能更为适用，因为它通过图论方法处理数据，能更好地捕捉高维空间中的数据结构。

最后

层次聚类在处理中小规模且具有层次结构的数据集时非常有效，特别是当不确定簇的数量时。然而，在大规模数据集或具有复杂形状簇的情况下，其他算法如K均值聚类或DBSCAN可能更为适用。通过根据数据集的特性和具体需求选择合适的聚类算法，可以更好地实现数据聚类和分析目标。

本文章转载微信公众号@深夜努力写Python

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