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所有文章 > AI驱动 > 突破最强时间序列模型，向量自回归！！

突破最强时间序列模型，向量自回归！！

2025-01-07

首先来说，时间序列模型是用来分析和预测数据随时间变化的模型。所谓“时间序列”，就是一个随着时间推移而记录下来的数据，比如股票价格、气温、销售额等。时间序列模型的目标是利用过去的数据（历史记录）来预测未来的值。

比如说，你每天都记录你体重的变化，形成了一组“体重数据”，这个数据就是时间序列。通过时间序列模型，你可以根据过去几天的体重变化，预测明天的体重可能是多少。

什么是向量自回归（VAR）模型？

向量自回归模型（VAR，全称Vector Autoregression）是一种特殊的时间序列模型，它不仅考虑了一个变量的过去值对自身未来的影响，还考虑了多个变量之间的相互影响。简单来说，VAR 模型用来处理多个时间序列之间的相互作用，预测不仅仅是一个变量，而是多个变量。

自回归这个词的意思是：模型使用变量过去的值（也就是“自己”）来预测它未来的值。而“向量”说明我们不只是处理一个变量，而是多个变量。

举个例子：

假设我们有两个时间序列数据：

  1. A公司股票价格（变量A）
  2. B公司股票价格（变量B）

我们知道这两个公司有合作关系，因此它们的股价是相互影响的：A公司股票涨了，可能会带动B公司股票也涨，反之亦然。我们想要预测未来几天这两家公司股票的价格。

在这种情况下，我们可以用向量自回归模型（VAR）来建模。VAR模型不仅考虑A公司股价过去几天对A公司未来股价的影响，还会考虑A公司股价对B公司未来股价的影响，反之亦然。

更具体的步骤：

  1. 输入数据：过去一段时间的A公司和B公司的股票价格数据。
  2. 预测未来值：模型会根据A和B公司过去的价格，预测未来几天它们各自的股票价格。

数学层面：

  • 假设你想用今天A和B的股价预测明天的价格。
    • 明天A公司的股价 = A公司过去股价的一些加权平均 + B公司过去股价的一些加权平均 + 噪音（误差）
    • 明天B公司的股价 = B公司过去股价的一些加权平均 + A公司过去股价的一些加权平均 + 噪音（误差）

通过不断更新这些系数（即加权平均的权重），VAR模型能够帮助我们捕捉A公司和B公司之间的复杂关系，并用于未来预测。

一个简单的例子

假设你开了一家饮料店，你每天记录：

  • 天气温度（变量A）
  • 当天销售额（变量B）

你发现天气对你的销售有一定的影响：天气越热，买饮料的人越多，销售额就越高。于是你希望能根据过去几天的天气和销售情况，预测未来几天的销售额。

你可以用向量自回归（VAR）模型来建模：

  1. 变量A：天气温度（过去几天的温度数据）
  2. 变量B：饮料店的销售额（过去几天的销售数据）

VAR模型会分析过去几天温度和销售的关系，比如：

  • 昨天温度上升，销售额也上升；
  • 前天温度很低，销售额下降。

模型会考虑：

今天的销售额不仅与昨天的销售额有关，还与昨天的温度有关。

然后，模型可以帮助你预测未来几天的销售额。

总结2点：

  • 时间序列模型主要用于分析一个变量随时间的变化，比如预测股票价格、销售额等。
  • 向量自回归（VAR）模型是一个高级的时间序列模型，它可以处理多个变量之间的相互影响，帮助我们理解和预测多个相关变量的未来变化。

通过向量自回归模型，你不仅可以根据过去的某个变量来预测它的未来，还能捕捉多个变量之间的互动，从而做出更准确的预测。

那么，在介绍完基本的概念之后，咱们从原理方面好好唠唠~

向量自回归（VAR）模型

时间序列模型基础

时间序列模型假设某一变量的未来值是其过去值的函数。一个典型的自回归（AR）模型表示为：

其中：

  •  是时间点  的变量值（例如，某公司当天的股票价格）。
  •  是模型参数，它们描述了过去  个时间点对当前时刻的影响。
  •  是白噪声（误差项）。

向量自回归（VAR）模型的推导

VAR 模型扩展了自回归模型的思路，用来处理多个相互关联的时间序列。假设我们有  个变量（如多个公司的股票价格或不同地区的气温），则这些变量不仅仅是受自身过去的影响，还受到其他变量的历史值影响。

对于一个VAR(p)模型，可以表示为：

其中：

  •  是一个  的向量，包含  个变量的值（比如当天多个公司股票的价格）。
  •  是一个常数项向量。
  •  是  的矩阵，表示过去第  天各个变量对当前的影响。
  •  是  的白噪声向量。

这样，对于多个变量，VAR模型考虑了它们之间的交互影响。我们要根据历史数据估计这些  矩阵中的系数。

最小二乘法估计参数

为了估计 VAR 模型中的参数矩阵 ，我们通常使用最小二乘法。这涉及将历史数据表示为线性方程组，并通过最小化误差项  来估计模型系数。

步骤概述

  • 数据预处理：准备好时间序列数据，创建滞后变量（即之前时间点的数据）。
  • 构建方程：将历史数据表达为线性回归方程，并使用矩阵形式进行计算。
  • 参数估计：利用最小二乘法解出参数矩阵。
  • 预测：使用估计出来的参数矩阵进行未来数据的预测。

完整案例

我们生成一个简单的时间序列虚拟数据集~

接下来，我们将逐步实现VAR模型的核心步骤。

数据预处理

import numpy as np

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt



# 1. 生成虚拟数据作为案例数据集

np.random.seed(42)



# 定义时间长度

n = 500  # 我们生成500个时间点的数据



# 初始化变量

gdp_growth = np.zeros(n)

unemployment_rate = np.zeros(n)

cpi = np.zeros(n)



# 随机初始值

gdp_growth[0] = np.random.normal(2, 0.5)  # 初始GDP增长率

unemployment_rate[0] = np.random.normal(5, 0.5)  # 初始失业率

cpi[0] = np.random.normal(100, 2)  # 初始CPI



# 人为设置数据生成的规则（根据上一期的值和一些噪声）

for t in range(1, n):

    gdp_growth[t] = 0.8 * gdp_growth[t-1] - 0.2 * cpi[t-1] + np.random.normal(0, 0.5)

    unemployment_rate[t] = 0.7 * unemployment_rate[t-1] - 0.1 * gdp_growth[t-1] + np.random.normal(0, 0.2)

    cpi[t] = 0.5 * cpi[t-1] + 0.3 * gdp_growth[t-1] + np.random.normal(0, 1)



# 将生成的数据整理为DataFrame

data = pd.DataFrame({

    'GDP_growth': gdp_growth,

    'unemployment_rate': unemployment_rate,

    'CPI': cpi

})

variables = ['GDP_growth', 'unemployment_rate', 'CPI']

data = data[variables].dropna()

data = (data - data.mean()) / data.std()



# 查看数据

print(data.head())

创建滞后变量

# 定义滞后变量的生成函数

def create_lagged_data(data, max_lag):

    lagged_data = []

    for lag in range(1, max_lag + 1):

        lagged_data.append(data.shift(lag))

    return pd.concat(lagged_data, axis=1)



# 假设我们使用2个滞后变量

max_lag = 2

lagged_data = create_lagged_data(data, max_lag)



# 将滞后变量与原始数据拼接，去掉缺失的初始行

lagged_data = lagged_data.dropna()

X = lagged_data.values

Y = data[max_lag:].values

参数估计（最小二乘法）

# 使用最小二乘法估计VAR模型参数

def estimate_var(X, Y):

    # 增加常数项（拦截项）

    X = np.hstack([np.ones((X.shape[0], 1)), X])

    

    # OLS公式： B = (X^T X)^(-1) X^T Y

    B = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ Y

    return B



# 估计参数矩阵

B = estimate_var(X, Y)

print("估计的系数矩阵:\n", B)

预测未来值

# 进行预测

def predict(X, B):

    X = np.hstack([np.ones((X.shape[0], 1)), X])  # 加入常数项

    return X @ B



# 预测未来值

predicted_values = predict(X, B)

绘制数据分析图

图1：变量趋势图

plt.figure(figsize=(10, 6))

for col in data.columns:

    plt.plot(data.index, data[col], label=col)

plt.title("Trends of Variables Over Time")  # 标题改为英文

plt.xlabel("Time")  # x轴标签改为英文

plt.ylabel("Standardized Value")  # y轴标签改为英文

plt.legend()

plt.show()

图2：滞后相关性图

from pandas.plotting import lag_plot

plt.figure(figsize=(10, 6))

for i, var in enumerate(variables):

    plt.subplot(2, 2, i+1)

    lag_plot(data[var], lag=1)

    plt.title(f'{var} Lag Relationship') 

plt.tight_layout()

plt.show()

图3：残差分析图

residuals = Y - predicted_values

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(residuals)

plt.title("Residual Analysis")

plt.xlabel("Time")

plt.ylabel("Residuals") 

plt.show()

图4：预测结果对比图

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(Y[:, 0], label="True Values")

plt.plot(predicted_values[:, 0], label="Predicted Values", linestyle="--")

plt.title("Comparison of Predicted and True Values (GDP Growth Rate)")

plt.xlabel("Time") 

plt.ylabel("Value")

plt.legend()

plt.show()

通过这个案例，我们从零实现了向量自回归模型（VAR）的核心步骤，并进行了多种数据分析和图形展示，大家可以依照理论进行学习~

最后

通过手动实现 ARMA 模型，可以深刻理解其数学推导和实现细节，同时通过图形直观地理解模型的拟合效果和残差分布。

本文章转载微信公众号@深夜努力写Python

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内容目录
  1. 什么是向量自回归（VAR）模型？
  2. 向量自回归（VAR）模型
  3. 完整案例
  4. 最后