人工智能数学基础 - 线性代数之特征值与特征向量篇

本文将从特征值与特征向量的需求、特征值与特征向量的求解、特征值与特征向量的应用三个方面，带您一文搞懂人工智能数学基础-线性代数之特征值与特征向量。

一、特征值与特征向量的需求

数据降维：通过映射函数将高维数据转换为低维表示，旨在去除冗余和噪音、提高计算效率和算法性能，同时增强数据的可视化和解释性。

数据降维的本质是一个映射函数，该函数可以将原始的高维数据映射到一个低维空间。降维过程中，数据的某些特征或属性可能会被合并或舍弃，从而得到一个新的、维度更低的数据表示。

冗余和噪音信息： 原始的高维数据中往往包含大量的冗余信息和噪音，这些信息在实际应用中（如图像识别、数据挖掘等）可能会造成误差，降低算法的准确性。通过降维，可以去除这些冗余和噪音信息，提高后续处理的精度。
计算复杂性： 高维数据在处理时通常会面临计算复杂度高的问题，如“维数灾难”。降维可以降低数据的维度，从而简化计算过程，提高计算效率。
数据可视化： 高维数据难以可视化，而低维数据更容易在图形上进行展示和解释。通过降维，可以将数据转换到低维空间，便于人们直观地理解和分析数据的结构和特征。

特征提取：特征提取是从原始数据中提炼出有意义、非冗余的信息，这一过程涉及特征构造和特征选择两个关键步骤。

一、特征构造

二、特征选择

构造特征多项式：当我们想要找出一个给定矩阵的特征值和特征向量时，首先需要构造特征多项式。

确定矩阵和变量：
假设我们有一个n×n的矩阵A，其元素为aij（其中i,j=1,2,…,n）。我们想要找到这个矩阵的特征值和特征向量。为此，我们引入一个变量λ，这个变量将代表特征值。
构造特征矩阵：
接下来，我们构造一个特殊的矩阵，称为特征矩阵或特征多项式中的矩阵，记作A−λI。这里，I是n×n的单位矩阵，即对角线上元素为1，其余元素为0的矩阵。

形成特征多项式：特征多项式是一个关于λ的多项式，它是通过计算特征矩阵A−λI的行列式得到的。这个多项式记作f(λ)，并定义为：f(λ)=det(A−λI)行列式det(A−λI)的计算涉及到对矩阵进行拉普拉斯展开，这会得到一个关于λ的n次多项式。

求解特征多项式：在构造了特征多项式之后，下一步是求解这个多项式以找出矩阵的特征值。

设置并求解特征方程：为了找到特征值，将特征多项式设置为零，即解方程 f(λ)=0。这个方程称为矩阵 A 的特征方程。它的根就是 A 的特征值。求解特征方程可能涉及到使用代数方法（如因式分解、求根公式等）或数值方法（如牛顿法、二分法等），具体取决于多项式的复杂性和可解性。
找出特征值：特征方程的解，即特征多项式 f(λ) 的根，是矩阵 A 的特征值。特征值可能是实数或复数，这取决于特征多项式的具体形式。在某些情况下，特征值可能有重根，这意味着同一个特征值对应多个线性无关的特征向量。
验证特征值：在求得特征值后，可以通过将其代入原特征方程 (A−λI)x=0 来验证它们的正确性。如果一个值使得方程有非零解，那么它就是特征值。

主成分分析（PCA）：利用特征值与特征向量，将高维数据投影到低维空间，实现降维并保留主要特征。

核心思想：PCA使用原始数据的协方差矩阵的特征向量作为新的坐标轴（主成分），以降低数据维度并保留主要特征。

基本步骤：

应用场景：降维、噪声去除、特征提取、数据压缩。

推荐系统：特征值与特征向量在推荐系统中通过矩阵分解捕捉用户偏好和项目特征，实现个性化推荐。

基本概念：

推荐系统背景：

特征值与特征向量的应用：

矩阵分解：
- 利用特征值与特征向量对用户-项目矩阵进行分解，将其近似为低秩矩阵的乘积。
- 常见的分解方法包括奇异值分解（SVD）和非负矩阵分解（NMF）。
降维与去噪：
- 通过保留最重要的特征值对应的特征向量，实现数据的降维处理。
- 降维后的数据更易于处理，同时能够去除原始数据中的噪声和冗余信息。
隐因子模型：
- 特征向量可以解释为隐因子，代表用户的偏好或项目的特征。
- 通过隐因子模型，可以发现用户与项目之间的潜在关联，提高推荐的准确性。

推荐过程：